Найти сумму сорока первых членов арифметической прогрессии, если S10=100 и S30=900

1. Если первый член арифметической прогрессии a₁, а разность прогрессии d, то член прогрессии с номером n a_n = a₁ + (n - 1) * d.

2. Сумма n первых членов арифметической прогрессии S_n = (a₁ + a_n) * n / 2.

3. Из условия задачи составим первое уравнение: S10 = (a₁ + a₁₀) * 10 / 2 = 100.

4. Второе уравнение будет иметь вид: S30 = (a₁ + a₃₀) * 30 / 2 = 900.

5. Подставим значения для a₁₀ и a₃₀. Получим систему из двух уравнений относительно a₁ и d:

2 * a₁ + 9 * d = 20; 2 * a₁ + 29 * d = 60.

6. Вычтем из второго уравнения первое. Получим равенство: 20 * d = 40. Отсюда d = 2.

7. Из первого уравнения a₁ = (20 - 9 * 2) / 2 = 1.

8. Тогда можем вычислить искомую величину: S40 = (a₁ + a₄₀) * 40 / 2 =

= (a₁ + a₁ + 39 * d) * 40 / 2 = (1 + 1 + 39 * 2) * 40 / 2 = 40 * 40 = 1600.

Ответ: S40 = 1600.