Найдите наибольшее значение функции f (x) = x в степени 3 - 3 х в степени 2 + 2 на промежутке [-1; 1].

1. Найдем первую производную функции:

у' = (х^3 - 3 х^2 + 2) ' = 3 х^2 - 6 х.

2. Приравняем эту производную к нулю и найдем критические точки:

3 х^2 - 6 х = 0;

х * (3 х - 6) = 0.

Приравняем каждый множитель к нулю:

х = 0;

3 х - 6 = 0;

3 х = 6;

х = 6 : 3;

х = 2.

Точка х = 2 не пренадлежит заданному отрезку.

3. Найдем значение функции в точке х = 0 и на концах заданного отрезка [-1; 1]:

у (0) = 0 - 3 * 0 + 2 = 2;

у (-1) = (-1) ^3 - 3 * (-1) ^2 + 2 = - 1 - 3 + 2 = - 2;

у (1) = 1^3 - 3 * 1^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0.

Ответ: fmax = 2.