Решить иррациональное уравнение корень из 3x+1 минус корень из x+8 равно 1

1. Чтобы избавиться от иррациональности возведем в квадрат обе части равенства:

√ (3 х + 1) - √ (х + 8) = 1;

√ (3 х + 1) = 1 + √ (х + 8);

[√ (3 х + 1) ]² = [1 + √ (х + 8) ]²;

(3 х + 1) = 1 + 2√ (х + 8) + (х + 8);

2. Приведем подобные слагаемые, выражение с корнем запишем отдельно справа:

3 х + 1 - 1 - х - 8 = 2√ (х + 8);

2 х - 8 = 2√ (х + 8);

Разделим на 2:

х - 4 = √ (х + 8);

3. Возведем в квадрат еще раз, чтобы убрать корень:

[х - 4]² = [√ (х + 8) ]²

x² - 8 х + 16 = х + 8;

x² - 8 х + 16 - х - 8 = 0;

x² - 9x + 8 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 9) ² - 4 * 1 * 8 = 81 - 32 = 49;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = (9 - √49) / 2 * 1 = (9 - 7) / 2 = 2 / 2 = 1;

х2 = ( - b + √D) / 2a = (9 + √49) / 2 * 1 = (9 + 7) / 2 = 16 / 2 = 8;

Выполним проверку:

Если х1 = 1, то:

√ (3 * 1 + 1) - √ (1 + 8) = 1;

√4 - √9 = 1;

2 - 3 = 1;

- 1 = 1, равенство не выполняется, значит корень лишний;

Если х2 = 8, то:

√ (3 * 8 + 1) - √ (8 + 8) = 1;

√25 - √16 = 1;

5 - 4 = 1;

1 = 1;

Ответ: х = 8.