Найти значение производной заданной функции в указанной точке x0 а) y=e^x/x+1 x0=0 б) y=e^0,5x-3 x0=4

Найдем производную функции y = e^x / (x + 1)

Рассмотрим функцию y = e^x / (x + 1). Это сложная функция, представляющая собой частное функции f (x) = e^x и g (x) = x + 1.

Воспользуемся формулой для нахождения производной частного функций:

у' (х) = (f (x) / g (x)) ' = (f' (x) * g (x) - f (x) * g' (x)) / g² (x).

Найдем составляющие данной формулы:

f (x) = e^x; f' (x) = e^x; g (x) = x + 1; g' (x) = 1.

Подставим в формулу:

у' (х) = (e^x / (x + 1)) ' = (e^x (x + 1) - e^x * 1) / (х + 1) ².

Упростим выражение:

у' (х) = e^x (x + 1 - 1) / (х + 1) ² = х e^x / (х + 1) ².

Найдем значение производной функции y = e^x / (x + 1) в точке х₀ = 0

у' (0) = 0 * e⁰ / (0 + 1) ² = 0 * 1 / 1 = 0.

Ответ: у' (0) = 0.

Найдем производную функции y = e^{0,5 х - 3}

Воспользуемся формулой производной сложной функции.

y' (x) = (e^{0,5 х - 3}) ' = e^{0,5 х - 3} * (0,5 х - 3) ' = e^{0,5 х - 3} * 0,5 = 0,5 e^{0,5 х - 3}.

Найдем значение производной функции y = e^{0,5 х - 3} в точке х₀ = 4

y' (4) = 0,5 e^{0,5 * 4 - 3} = 0,5 е^{2 - 3} = 0,5 е^-1 = 0,5 / е = 1 / 2 е.

Ответ: y' (4) = 1 / 2 е.

Найдем значения производной заданной функции в указанной точке x0.

а) y = e ^ x / (x + 1), x0 = 0;

y ' = (e ^ x / (x + 10) ' = ((e ^ x) ' * (x + 1) - (x + 1) ' * e ^ x) / (x + 1) ^ 2 = (e ^ x * (x + 1) - (1 + 0) * e ^ x) / (x + 10) ^ 2 = (e ^ x * x + e ^ x - e ^ x) / (x + 1) ^ 2 = x * e ^ x / (x + 1) ^ 2;

y ' (0) = 0 * e ^ 0 / (0 + 1) ^ 2 = 0/1 = 0;

Ответ: y ' (0) = 0.

б) y = e ^ 0,5 * x - 3, x0 = 4;

y ' = (e ^ 0,5 * x - 3) ' = e ^ (0.5 * x) * (0.5 * x) ' - 0 = 0.5 * e ^ (0.5 * x) = 1/2 * e ^ (1/2 * 4) = 1/2 * e ^ (4/2) = 1/2 * e ^ 2;

Ответ: y ' (4) = 1/2 * e ^ 2.