1. Найти производную функции: а) f (x) = 1/5x^5-x^3+4 б) f (x) = 3x-1/x^3 в) f (x) = 1/2cosx 2. Найти производную функции и вычислить её значение в указанной точке: а) f (x) = xsinx в точке x=пи/2 б) f (x) = (2x-3) ^6 в точке х=1 3. Найдите точки, в которых производная данной функции равна нулю: a) f (x) = 2sinx - X b) f (x) = x^5+20x^2

1) а) f (x) = 1/5x⁵ - x³ + 4.

f' (х) = 1/5 * 5 * х⁴ - 3 х² = х⁴ - 3 х².

б) f (x) = (3x - 1) / x³.

Производная произведения: (f * g) ' = f' * g + f * g'.

f' (х) = (3x - 1) ' * x³ + (3x - 1) * (x³) ' = 3 * x³ + (3x - 1) * 3x² = 3x³ + 9x³ - 3x² = 12x³ - 3x².

в) f (x) = 1 / (2cosx).

Производная дроби: (f/g) ' = (f' * g - f * g') / g^2.

f' (х) = (1' * 2cosx - 1 * (2cosx) ') / (2cosx) ^2 = (0 - 1 * (-2sinx)) / 2cos²x = sinx/cos²x.

2) а) f (x) = xsinx.

f' (х) = х' * sinx + х * (sinx) ' = sinx + хcosx.

x = П/2; f' (П/2) = sinП/2 + П/2cosП/2 = 1 + П/2 * 0 = 1.

б) f (x) = (2x - 3) ⁶.

f' (х) = 6 (2 х - 3) ⁵ * (2 х - 3) ' = 6 (2 х - 3) ⁵ * 2 = 12 (2 х - 3) ⁵.

х = 1; f' (1) = 12 (2 * 1 - 3) ⁵ = 12 * (-1) ⁵ = - 12.

3) а) f (x) = 2sinx - X.

f' (х) = 2cosx - 1.

f' (х) = 0; 2cosx - 1 = 0.

2cosx = 1.

cosx = ½.

х = ±П/3 + 2 Пn, n - целое число.

b) f (x) = x⁵ + 20x².

f' (х) = 5 х⁴ + 20 х.

f' (х) = 0; 5 х⁴ + 20 х = 0.

х (5 х³ + 2) = 0.

Отсюда х = 0.

Или 5 х³ + 2 = 0; 5 х³ = - 2; х³ = - 2/5; х = ³√ (-2/5).