Найти сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если: А2=203 А4=200

Будем решать данную задачу по следующей схеме:

составив и решив систему уравнения, найдем первый член и разность данной арифметической прогрессии; используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 * a1 + d * (n - 1)) * n / 2, запишем формулу суммы первых n членов данной арифметической прогрессии; с помощью формулы n-го члена данной арифметической прогрессии найдем сумму двенадцати первых членов данной арифметической прогрессии.

Решение задачи.

Находим первый член и разность данной арифметической прогрессии

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии аn = a1 + (n - 1) * d, где а1 - первый член арифметической прогрессии, d - разность арифметической прогрессии.

Согласно условию задачи, в данной арифметической прогрессии а2 = 203, а4 = 200.

Применяя формулу n-го члена арифметической прогрессии при n = 2 и n = 4, получаем следующие соотношения:

а1 + d = 203;

а1 + 3d = 200.

Решаем полученную систему уравнений.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем:

а1 + 3d - а1 - d = 200 - 203;

2d = - 3;

d = - 3 / 2;

d = - 1.5.

Подставляя найденное значение d = - 1.5 в уравнение а1 + d = 203, находим а1:

а1 - 1.5 = 203;

а1 = 203 + 1.5;

а1 = 204.5.

Запишем формулу суммы первых n членов данной арифметической прогрессии

Подставляя найденные значения а1 = 204.5 и d = - 1.5 в формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 * a1 + d * (n - 1)) * n / 2, находим формулу суммы для данной прогрессии:

Sn = (2 * 204.5 + (-1.5) * (n - 1)) * n / 2 = (409 - 1.5n + 1.5) * n / 2 = (410.5 - 1.5n) * n / 2 = (205.25 - 0.75n) * n.

Находим сумму двенадцати первых членов данной арифметической прогрессии

Подставляя значения n = 12 в формулу Sn = (205.25 - 0.75n) * n, находим сумму первых 12-ти членов данной прогрессии:

S12 = (205.25 - 0.75 * 12) * 12 = (205.25 - 9) * 12 = 196.25 * 12 = 2355.

Ответ: сумма первых 12-ти членов данной прогрессии равна 2355.

Решение.

1. Найдем разность арифметической прогрессии.

d = (A4 - A2) / 2 = (200 - 203) / 2 = - 1.5.

2. Найдем первый член арифметической прогрессии.

А1 = А2 - d = 203 + 1.5 = 204.5.

3. Вычислим сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии.

S12 = (2A1 + 11d) * 12 : 2 = (2A1 + 11d) * 6 = (2 * 204.5 + 11 * (-1.5)) * 6 = (409 - 16.5) * 6 = 392.5 * 6 = 2355.

Ответ. Сумма двенадцати первых членов арифметической прогрессии равна 2355.