Найдите наименьшее значение функции y=5x-ln (x+8) ^5 на отрезке [-7.5; 0]

Найдем производную функции:

y' = (5x - ln (x + 8) ^5) ' = 5 - 1 / (x + 8) ^5 * 5 (x - 8) ^4 = 5 - 5 / (x + 8).

Приравниваем ее к нулю и находим точки экстремумов:

5 - 5 / (x + 8) = 0;

1 / (x + 8) = 1;

x = - 7.

Поскольку в этой точке производная меняет свое значение с отрицательного на положительное, то данная точка является минимумом функции. Так как она принадлежит заданному отрезку, то достаточно подставить x = - 7 в уравнение функции:

y (-7) = 5 * (-7) - ln (-7 + 8) ^5 = - 35 - 0 = - 35.

Ответ: искомое значение минимума равно - 35.