3 + 9 cosx = 5sin^2x

Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством sin^2 (x) + cos^2 (x) = 1, распишем правую часть уравнения:

3 + 9 cos (x) = 5 (1-cos^2 (x)).

Приведём подобные и переместим все слагаемые в левую часть:

5cos^2 (x) + 9cos (x) - 2 = 0.

Проведём замену:

cos (x) = t.

Тогда получим квадратное уравнение, которое решим относительно переменной t:

5t^2 + 9t - 2 = 0;

D = 9^2 - 4 * 5 * (-2) = 121 = 11^2;

t_1 = ( - 9 - 11) / (2 * 5) = - 2;

t_2 = ( - 9 + 11) / (2 * 5) = 1 / 5.

Произведем обратную замену:

t = cos (x);

cos (x) _1 = - 2;

cos (x) _2 = 1 / 5.

Так как по определению - 1 < = cos (x) < = 1, то ответ cos (x) _1 = - 2 не имеет решения, поэтому ответ найдем из уравнения

cos (x) = 1 / 5;

x = (+/-) arccos (1/5) + 2 пn, где n - целое число.

Прим.:

t_1 - t с нижним индексом 1;

t^2 - t в степени 2;

(+/-) - знак "плюс-минус";

< = - меньше или равно