Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями x=y^2-2y, y=-x

Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями:

x = y^2 - 2 * y;

y = - x.

Решение:

{ x = y^2 - 2 * y;

x = - y.

Первый график лежит выше второго графика от 0 до 1 относительно оси Оу.

Вычтем значение первого функции y^2 - 2 * y значение второй функции - у.

Получаем: y^2 - 2 * y - (-y) = y^2 - 2 * y + y = y^2 - y.

Значит, найдем площадь фигуры, ограниченной линиями:

S = ∫ (y^2 - y) dy = ∫y^2 dy - ∫y dy = y^3/3 - y^2/2 = 1/3 * y^3 - 1/2 * y^2 = 1/3 * 1^3 - 1/2 * 1^2 - (1/3 * 0^3 - 1/2 * 0^2) = 1/3 * 1 - 1/2 * 1 - 0 = 1/3 - 1/2 = 2/6 - 3/6 = (2 - 3) / 6 = - 1/6.