Для четырехугольника ABCD справедливы равенства AB=BC=CD и AD=AC=BD. Найдите меньший угол четырехугольника (в градусах).

Заметим, что треугольники ACD и АВD равны друг другу по трём сторонам, т. к. AD - общая сторона и AC = BD, AB = CD.

Отсюда вытекает, что углы BAD = ABD = ADC = ACD = a.

Также заметим, что треугольники ABC и BCD равны друг другу по трём сторонам, т. к. AC = BD и AB = BC = CD.

Отсюда вытекает, что BAC = BCA = CBD = CDB = b.

Из треугольника ACD имеем:

CAD + ACD + ADC = 180°,

CAD = 180° - 2 * a.

Так как сумма углов четырехугольника равна 360°:

BAD + ABD + CBD + BCA + ACD + ADC = 360°,

a + a + b + b + a + a = 360°,

2 * a + b = 180°.

Но из треугольника ABC имеем:

BAC + ABC + BCA = 180°,

b + 180° - a + b = 180°,

a = 2 * b,

4 * b + b = 180°, 5 * b = 180°, b = 36°.

a = 2 * b = 72°.

Ответ: 72°.