Антон назвал Кате число, оканчивающееся на 3. Катя назвала сумму цифр этого числа Диме. Оказалось, что она оканчивается на 2. Дима назвал сумму цифр числа, которое ему сообщила Катя. Оказалось, что оно оканчивается на 1. Какое наименьшее число мог назвать Антон?

Обозначения

Допустим, Антон назвал число x, Катя назвала число y, а Дима - число z. Тогда, согласно условию задачи, числа x, y и z удовлетворяют следующим трем условиям:

число x оканчивается на цифру 3, а сумма его цифр равна y; число y оканчивается на цифру 2, а сумма его цифр равна z; число z оканчивается на цифру 1. Наименьшее значение для числа y

Если число y, которое назвала Катя, оканчивается на цифру 2, а сумма его цифр - на 1, то, очевидно, наименьшее такое число будет в том случае, когда y - двузначное число, следовательно, для y и z получим:

y = 92;

z = 9 + 2 = 11.

Наименьшее значение для числа x

Таким образом, нужно найти наименьшее число x, оканчивающееся на 3, сумма цифр которого равна 92. Если вычтем из 92 последнюю цифру числа x, т. е. - 3, то получим сумму всех цифр, за исключением последней цифры, числа х:

92 - 3 = 89.

Поскольку для n-значного числа наибольшая сумма цифр достигается в том случае, когда все цифры - 9, и равна 9n, то очевидно, что число x не может быть десятизначным. А это значит, что наименьшее значение для числа х нужно искать среди одиннадцатизначных чисел, у которых последняя цифра - 3.

Ясно, что такое число состоит из девяти девяток, одной восьмерки и последней тройки, а среди таких чисел наименьшим будет то, у которого восьмерка стоит на первом месте:

x = 89 999 999 993; y = 8 + 9 * 9 + 3 = 92; z = 9 + 2 = 11.

Следовательно, наименьшее число x, которое мог назвать Антон - это число:

89 999 999 993.

Ответ: 89 999 999 993.