Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 14, а сумма их квадратов равна 84. Найти первый член прогрессии, ее знаменатель и сумму первых шести членов

1. Для геометрической прогрессии B (n) известно:

2. Сумма первых трех членов равна:

S3 = B1 + B2 + B3 = B1 + B1 * q + B1 * q² = B1 * (1 + q + q²) = 14;

3. Сумма квадратов чисел:

Sk = B1² + B2² + B3² = B1² + (B1 * q) ² + (B1 * q²) ² = B1² * (1 + q² + q^4) = 84;

4. Вычислим квадрат: суммы S3:

S3² = (B1 * (1 + q + q²) ² = 14²;

B1² * (1 + q + q^4) + 2 * q * B1² * (1 + q + q²) = 196;

5. Вычитаем из квадрата суммы членов сумму их квадратов:

S3² - Sk = (B1² * (1 + q + q^4) + 2 * q * B1² * (1 + q + q²)) -

(B1² * (1 + q² + q^4)) = 196 - 84;

2 * q * B1² * (1 + q + q²) = 112;

(B1 * q) * (B1 * (1 + q + q²) = 56;

B2 * S3 = 56;

B2 = (56) / S3 = (56) / 14 = 4;

6. Преобразуем сумму трех чисел к канонической форме:

S3 = B1 + B2 + B3 = B1 + 4 + B1 * q² = 14;

B1 * (1 + q²) = 14 - 4 = 10;

(B1 * q) * (1 + q²) = 10 * q;

4 * (1 + q²) = 10 * q;

2 * q² - 5 * q + 2 = 0;

7. Решаем это уравнение:

q1,2 = (5 + - sqrt (5² - 4 * 2 * 2) / (2 * 2) = (5 + - 3) / 4;

8. q1 = (5 + 3) / 4 = 2;

B1 = B2 / q = 4 / 2 = 2;

S6 = (B1 * (q^6 - 1)) / (q - 1) = (2 * (2^6 - 1)) / (2 - 1) = 2 * 63 = 126;

9. q2 = (5 - 3) / 4 = 1/2;

B1 = B2 / q = 4 / (1/2) = 8;

S6 = (B1 * (q^6 - 1)) / (q - 1) = (8 * ((1/2) ^6 - 1)) / (1/2 - 1) = (63/8) / (1/2) = 15,75.

Ответ: 1) 2, 2, 126; 2) 8, 0,5, 15,75.