1. Найти сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии, у которой второй член равен 1, а пятый член равен - 0.1252. Первый член и знаменатель геометрической прогрессии равны 2, а произведение всех членов равно 1024. Найти число членов прогрессии.

Задание состоит из двух частей, в каждой из которых требуется решить задачу по геометрической прогрессии. Решим их. Допустим, что последовательность чисел {b_n} (где n - натуральные числа) образует геометрическую прогрессию. По условию задания, b₂ = 1 и b₅ = - 0,125. Необходимо найти сумму четырёх первых членов S₄. Воспользуемся формулой b_n = b₁ * qⁿ ^{- 1}. Имеем b₂ = b₁ * q^{2 - 1}, то есть 1 = b₁ * q. Аналогично, b₅ = b₁ * q^{5 - 1}, то есть - 0,125 = b₁ * q⁴. Полученные два равенства позволяют утверждать, что (b₁ * q⁴) : (b₁ * q) = - 0,125 : 1 или q³ = - 0,125, откуда q = - 0,5. Теперь определим b₁. Имеем b₁ = 1 / q = 1 / (-0,5) = - 2. Применяя формулу S_n = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q) вычислим сумму четырёх первых членов. Значит, S₄ = b₁ * (1 - q⁴) / (1 - q) = (-2) * (1 - (-0,5) ⁴) / (1 - (-0,5)) = - 2 * (1 - 0,0625) / 1,5 = - 1,25. Заметим, что внесена поправка в описание задания. По условию задания, b₁ = 2, q = 2 и b₁ * b₂ * ... * b_n = 1024. Необходимо найти n. Произведение первых n членов данной геометрической прогрессии обозначим через Р_n = b₁ * b₂ * ... * b_n. Имеем Р_n = b₁ * b₁ * q * ... * b₁ * qⁿ ^{- 1} = (b₁) ⁿ * (q⁰ * q¹ * ... * qⁿ ^{- 1}). Поскольку b₁ = 2, q = 2 и b₁ * b₂ * ... * b_n = 1024, то имеем 2ⁿ * 2⁰ * 2¹ * ... * 2ⁿ ^{- 1} = 1024 или 2¹ * ... * 2ⁿ ^{- 1} * 2ⁿ = 2¹⁰. Используя свойства степеней, получим 1 + 2 + ... + n = 10. Заметим, что в левой части полученного равенства является суммой первых n членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью 1. Нетрудно убедиться, что эта сумма равна n * (n + 1) / 2. Тогда n * (n + 1) / 2 = 10 или n² + n = 10 * 2, откуда n² + n - 20 = 0. Это квадратное уравнение имеет два различных решения: n₁ = 4 и n₂ = - 5 - побочный член. Таким образом, если число членов данной геометрической прогрессии равно 4, то произведение всех членов составит 1024.

Ответы: - 1,25; 4.