Найти точку минимума функции y = (x^2-7x+7) * e^4-x

1. Вычислим производную функции:

y = (x^2 - 7x + 7) * e^ (4-x);

y' = (2x - 7) * e^ (4-x) - (x^2 - 7x + 7) * e^ (4-x);

y' = e^ (4-x) (2x - 7 - x^2 + 7x - 7);

y' = e^ (4-x) (9x - 14 - x^2).

2. В точках экстремума y' = 0:

e^ (4-x) (9x - 14 - x^2) = 0;

9x - 14 - x^2 = 0;

x^2 - 9x + 14 = 0;

D = 9^2 - 4 * 14 = 81 - 56 = 25;

√D = √25 = 5;

x = (9 ± 5) / 2;

x1 = (9 - 5) / 2 = 2;

x2 = (9 + 5) / 2 = 7.

3. Знаки производной:

при x ∈ (2; 7) y' > 0;

при x ∈ (-∞; 2) ∪ (7; ∞) y' < 0;

x = 2 - точка минимума;

x = 7 - точка максимума.

Ответ: точка минимума: x = 2.