Найдите точку максимума функции y=6+15x-4x*корень из х. Найдите точку минимума функции y=x*корень из x-24x+14.

1) Преобразуем функцию:

y = 6 + 15x - 4x√х = 6 + 15 х - 4 х * х^1/2 = 6 + 15 х - 4 х^3/2.

Найдем производную функции:

у' = 15 - 4 * 3/2 * х^1/2 = 15 - 6√х.

Найдем нули производной:

у' = 0; 15 - 6√х = 0; 6√х = 15; √х = 15/6; х = 225/36 = 6 9/36 = 6 1/4 = 6,25.

Получается два промежутка: (-∞; 6,25) и (6,25; + ∞).

Определим знаки производной на каждом промежутке:

(-∞; 6,25) пусть х = 0; у' (0) = 15 - 6√х = 15 - 6 * √0 = 15 (плюс).

(6,25; + ∞) пусть х = 9; у' (0) = 15 - 6√9 = 15 - 18 = - 3 (минус).

Значит, на промежутке (-∞; 6,25) функция возрастает, а на промежутке (6,25; + ∞) убывает.

Следовательно, х = 6,25 - это точка максимума.

2) Преобразуем функцию:

y = x√x - 24x + 14 = х * х^1/2 - 24 х + 14 = х^3/2 - 24 х + 14.

Найдем производную функции:

у' = 3/2 * х^1/2 - 24 = 1,5√х - 24.

Найдем нули производной:

у' = 0; 1,5√х - 24 = 0; 1,5√х = 24; √х = 24 : 1,5; √х = 16; х = 256.

Определим знаки производной на каждом промежутке:

(-∞; 256) пусть х = 0; у' (0) = 1,5 * √0 - 24 = - 24 (минус).

(256; + ∞) пусть х = 324; у' (0) = 1,5 * √324 - 24 = 1,5 * 18 - 24 = 27 - 24 = 3 (плюс).

Значит, на промежутке (-∞; 256) функция убывает, а на промежутке (256; + ∞) возрастает.

Следовательно, х = 256 - это точка минимума.