В треугольник вписана окружность. Прямые, соединяющие центр окружности с вершинами, делят треугольник на части с площадями 120, 104, 112. Найти радиус вписанной окружности.

Решение

Пусть стороны треугольника равны а, в и с. Тогда площади частей треугольника равны:

1/2 * r * а = 120 (высота равна радиусу вписанной окружности)

1/2 * r * в = 104

1/2 * r * с = 112

отсюда: 1/2 * r = 120/а = 104/в = 112/с

То есть площади частей относятся друг к другу как 120 : 104 : 112

Сокращаем на 8, получается 15 : 13 : 14

Берем какой-либо коэффициент, обозначаем за х, тогда стороны треугольника равны 15 х, 13 х и 14 х.

Находим полупериметр всего треугольника р = (15 х + 13 х + 14 х) / 2 = 21 х

По формуле Герона S = кв. корень (21 х * (21 х - 15 х) (21 х - 13 х) (21 х - 14 х) = квы. корень (7056 х⁴) = 84 х²

Мы знаем, что площадь треугольника равна S = 120 + 104 + 112 = 336

84 х² = 336

х = 2

мы знаем, что 1/2 * r * а = 120, а = 15 х

15 х = 15 * 2 = 30

1/2 * r * 30 = 120

Отсюда находим r = 8

Ответ: 8