A^3+b^3+c^3-3abc>=0 доказать неравенство

Обозначим:

A = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc.

Тогда:

A = (a + b) ^3 + c^3 - 3ab (a + b) - 3abc;

A = (a + b) ^3 + c^3 - 3ab (a + b + c);

A = (a + b + c) ^3 - 3c (a + b) (a + b + c) - 3ab (a + b + c);

A = (a + b + c) ^3 - 3 (a + b + c) (c (a + b) + ab);

A = (a + b + c) ^3 - 3 (a + b + c) (ab + bc + ca);

A = (a + b + c) ((a + b + c) ^2 - 3 (ab + bc + ca));

A = (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca);

2A = (a + b + c) (2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca);

2A = (a + b + c) ((a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2));

2A = (a + b + c) ((a - b) ^2 + (b - c) ^2 + (c - a) ^2);

A = 1/2 * { (a + b + c) ((a - b) ^2 + (b - c) ^2 + (c - a) ^2) }.

Неравенство A ≥ 0 верно при условии:

a + b + c ≥ 0.

Что и требовалось.