Решите уравнение log4 (25^ (x+3) - 1) = 1 + log4 (5^ (x+3) + 1)

1. Преобразуем числовой коэффициент справа в логарифм:

log ₄ (25 ^(x+3) - 1) = 1 + log ₄ (5 ^{(х + 3)} + 1)

1 = log ₄4;

log ₄ (25 ^(x+3) - 1) = log ₄4 + log ₄ (5 ^{(х + 3)} + 1);

2. Основания логарифмов равны, поэтому воспользуемся свойством произведения логарифма:

log ₄ (25 ^(x+3) - 1) = log ₄ 4 * (5 ^{(х + 3)} + 1);

3. Из равенства основания логарифмов следует:

25 ^(x+3) - 1 = 4 * (5 ^{(х + 3)} + 1);

4. Чтобы решить показательное уравнение, воспользуемся свойствами степени:

5^{2 (x+3)} - 1 = 4 * 5 ^{(х + 3)} + 4;

5^2x+6 - 1 = 4 * 5^{х + 3} + 4;

56 * 5^2x - 1 = 4 * 53 * 5^х + 4;

5 6 * 5^2x - 1 - 4 * 5 3 * 5^х - 4 = 0;

56 * 5^2x - 4 * 53 * 5^х - 5 = 0;

Разделим на 5:

55 * 5^2x - 4 * 5² * 5^х - 1 = 0;

5. Выполним замену:

5^х = у, у >0;

3125 у² - 100y - 1 = 0;

6. Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 100) ² - 4 * 3125 * ( - 1) = 10000 + 12500 = 22500;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = (100 - √22500) / 2 * 3125 = (100 - 150) / 6250 = - 50/6250, не подходит по условию замены;

у2 = ( - b + √D) / 2a = (100 + √22500) / 2 * 3125 = (100 + 150) / 6250 = 250/6250 = 1/25;

Найдем х:

5^х = у;

Если у = 1/25, то:

5^х = 1/25;

5^х = 25 ^{( - 1)} ;

5^х = 5 ^{( - 2)} ;

х = - 2;

Ответ: х = - 2.