Решите уравнение 4^x+1-13*6^x+9^x+1=0

Найдем корни уравнения.

4^ (x + 1) - 13 * 6^x + 9^ (x + 1) = 0;

Упростим уравнение. Применим свойства степеней.

4^x * 4^1 - 13 * 6^x + 9^x * 9^1 = 0;

4^x * 4 - 13 * 6^x + 9 * 9^x = 0;

4 * 4^x - 13 * 6^x + 9 * 9^x = 0;

4 * (2^x) ^2 - 13 * 2^x * 3^x + 9 * (3^x) ^2 = 0;

Разделим уравнение на (3^x) ^2. Получаем:

4 * (2^x) ^2 / (3^x) ^2 - 13 * 2^x * 3^x / (3^x) ^2 + 9 * (3^x) ^2 / (3^x) ^2 = 0;

4 * (2^x/3^x) ^2 - 13 * 2^x/3^x + 9 * 1 = 0;

4 * (2^x/3^x) ^2 - 13 * (2^x/3^x) + 9 = 0;

Пусть 2^x/3^x = a, тогда:

4 * a^2 - 13 * a + 9 = 0;

D = (-13) ^2 - 4 * 4 * 9 = 169 - 16 * 9 = 169 - 144 = 25 = 5^2;

a1 = (13 + 5) / (2 * 4) = 18/8 = 9/4;

a2 = (13 - 5) / (2 * 4) = 8/8 = 1;

Получаем:

1) 2^x/3^x = 9/4;

(2/3) ^x = (3/2) ^2;

(2/3) ^x = (2/3) ^ (-2);

x = - 2;

2) 2^x/3^x = 1;

(2/3) ^x = (2/3) ^0;

x = 0;

Ответ: х = - 2 и х = 0.