Исследовать функцию на монотонность и экстремумы y=2x^5+5x^4-10x^3+3

Найдем производную

y' = (2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3) ' = 10x^4 + 20x^3 - 30x^2 - приравняем к нулю и найдем нули функции;

10x^4 + 20x^3 - 30x^2 = 0 - вынесем за скобку общий множитель 10x^2;

10x^2 (x^2 + 2x - 3) = 0 - произведение двух множителей равно нулю, когда один из множителей равен 0;

1) 10x^2 = 0;

x = 0.

2) x^2 + 2x - 3 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 2^2 - 4 * 1 * ( - 3) = 4 + 12 = 16; √D = 4;

x = ( - b ± √D) / (2a);

x1 = ( - 2 + 4) / 2 = 2/2 = 1;

x2 = ( - 2 - 4) / 2 = - 6/2 = - 3.

Отметим данные точки по порядку на числовой прямой ( - 3), 0, 1. Они делят числовую прямую на 4 промежутка: 1) ( - ∞; - 3); 2) ( - 3; 0); 3) (0; 1); 4) (1; + ∞). На 1 и 4 промежутках производная положительна, а сама функция - возрастает. На промежутках 2 и 3 производная отрицательна, а сама функция убывает. Точки х = - 3 - точка минимума., х = 1 - точка максимума.

Ответ. Возрастает на ( - ∞; - 3); (1; + ∞). Убывает на ( - 3; 0); 3) (0; 1). х = - 3 - точка минимума., х = 1 - точка максимума.