Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусам, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 30 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Дано:

Прямоугольный треугольник MKC

угол М = 90 градусов,

угол C = 60 градусов,

CM + КС = 30 сантиметров.

Найти длину гипотенузы CK - ?

Решение:

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник MKC. Нам известно, что сумма градусных мер любого треугольника равна 180 градусов. Следовательно:

угол К = 180 - (угол М + угол С);

угол К = 180 - (90 + 60);

угол К = 180 - 150;

угол К = 30 градусов;

2) В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30 градусов лежит катет, который равен половине гипотенузы. Тогда МС = 1/2 * КС;

КС = 2 * МС.

Нам известно, что МС + КС = 30.

Тогда МС + 2 * МС = 30;

3 * МС = 30;

МС = 30 : 3;

МС = 10 сантиметров;

КС = 2 * 10;

КС = 20 сантиметров.

Ответ: 20 сантиметров.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ и АС, прямым углом А и гипотенузой ВС. Будем считать, что нам известна величина угла В:

∠В = 60°;

Также известно, что сумма L длин гипотенузы ВС и меньшего катета равна 30 см. В задаче требуется вычислить длину гипотенузы прямоугольного треугольника АВС.

Запись уравнения по условию задачи

Для решения задачи:

определяем углы треугольника, и какой из катетов является наименьшим; выражаем длину наименьшего катета через известные величины треугольника; составляем уравнения по условию задачи о сумме L длин гипотенузы и меньшего катета; подставляем исходные данные и вычисляем длину гипотенузы.

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°:

∠А + ∠В + ∠С = 180°;

Учитывая, что:

∠А = 90°;

получаем:

90° + 60° + ∠С = 180°;

∠С = 180° - 150° = 30°;

Как известно, меньшая сторона треугольника находится против меньшего угла. Меньшим углом данного треугольника является ∠С:

∠С < ∠B < ∠A;

и, соответственно, меньшей стороной является катет АВ. Воспользуемся далее тем, что косинус угла равен отношению длин прилежащего катета и гипотенузы:

cos (∠В) = |AВ| / |ВС|;

Далее:

|AВ| = |ВС| * cos (∠В);

По условию задачи:

L = |AВ| + |ВС|;

L = |ВС| * cos (∠В) + |ВС|;

Находим неизвестное |ВС|:

|ВС| = L / (1 + cos (∠В));

Вычисление длины гипотенузы ВС

Подставляя исходные данные задачи в полученную формулы для гипотенузы, находим:

|ВС| = 30 / (1 + cos (60°));

|ВС| = 30 / (1 + 0,5) = 30 / 1,5;

|ВС| = 20 (см);

Ответ: длина гипотенузы равна 20 см.