Сколькими способами из 7 бусенок разных цветов можно составить ожерелье с застёжкой? Объясните почему

Бусинок всего 7, они разных цветов и использовать их можно в каждой комбинации только однократно. Если бусы состоят из 7 бусинок, то мест для бусин 7 и при выборе каждой следующей бусины, их количество сокращается. Следовательно:

На 1-м месте возможны все 7 бусин;

На 2-м месте возможны 6 бусин из 6-ти оставшихся (7-ю мы уже использовали);

На 3-м месте возможны 5 бусин;

И т. д., пока бусины не закончатся, на последнем месте выбор будет только из 1 бусины.

Количество комбинаций определяется произведением количества выборов бусин на каждом месте:

7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 7! = 5 040.

Ответ: для бус из 7 бусин количество комбинаций 5 040.

Но если бусин в комбинациях может быть меньше, чем 7, то есть бусы могут состоять из 7, 6, 5, 4, 3, 2 или 1 бусинок, то количество комбинаций определяется сложением всех возможных комбинаций для каждого набора бус (для 7, для 6 и т. д.):

Для бус из 7 бусин количество комбинаций посчитано:

7! = 5 040.

Для бус из 6-ти бусин количество комбинаций будет такое же, так как мест 6, на 1-м месте возможны 7 бусин, на 2-м 6 бусин, ... на последнем 6-м месте будет выбор из 2-х бусин:

7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 = 5 040.

Здесь уместно пользоваться формулой числа размещений без повторов:

А^m_n = n! / (n - m) !

А⁶₇ = 7! / (7 - 6) ! = 7! / 1! = 5 040.

Тогда для 5-ти бусин (на 1-м месте 7 бусин, на 5-м месте 3 бусины) расчет такой:

А⁵₇ = 7! / (7 - 5) ! = 7! / 2! = 2 520.

Для 4-х бусин:

А⁴₇ = 7! / (7 - 4) ! = 7! / 3! = 840.

Для 3-х бусин:

А³₇ = 7! / (7 - 3) ! = 7! / 4! = 210.

Для 2-х бусин:

А²₇ = 7! / (7 - 2) ! = 7! / 5! = 42.

Для 1 бусины комбинаций всего 7.

Общее число комбинаций при меняющемся числе бусин на бусах:

5040 + 5040 + 2520 + 840 + 210 + 42 + 7 = 13699.