Решить уравнение sin2x + 2sinx = √3 cosx + √3 указать корни, принадлежащие отрезку [-3 П; 3 П/2]

sin2x + 2sinx = √3cosx + √3,

2sinxcosx + 2sinx = √3cosx + √3,

2sinx (cosx + 1) - √3 (cosx + 1) = 0,

(cosx + 1) (2sinx - √3) = 0.

cosx + 1 = 0 или 2sinx - √3 = 0.

cosx = - 1 sinx = √3/2

x = п + 2 пn, n ∈ Z x = п/3 + 2 пk, x = 2 п/3 + 2 пk, k ∈ Z.

Выберем корни из отрезка [-3 П; 3 П/2] с помощью решения неравенств и выбора натуральных n и k.

1) - 3 П ⩽ п + 2 пn ⩽ 3 П/2,

- 3 П - П ⩽ 2 пn ⩽ 3 П/2 - П,

- 4 П ⩽ 2 пn ⩽ П/2,

- 2 ⩽ n ⩽ 1/4.

n = - 2, x = П - 4 П = - 3 П.

n = - 1, x = П - 2 П = - П.

n = 0, x = П.

2) - 3 П ⩽ п/3 + 2 пk ⩽ 3 П/2,

- 3 П - П/3 ⩽ 2 пk ⩽ 3 П/2 - П/3,

-10 П/3 ⩽ 2 пk ⩽ 7 П/6,

-5/3 ⩽ k ⩽ 7/12.

k = - 1, x = П/3 - 2 П = - 7 П/3.

k = 0, x = П/3.

3) - 3 П ⩽ 2 п/3 + 2 пk ⩽ 3 П/2,

- 3 П - 2 П/3 ⩽ 2 пk ⩽ 3 П/2 - 2 П/3,

-11 П/3 ⩽ 2 пk ⩽ 5 П/6,

-11/6 ⩽ k ⩽ 5/12.

k = - 1, x = 2 П/3 - 2 П = - 4 П/3.

k = 0, x = 2 П/3.

Ответ: - 3 П; - 7 П/3; - П; - 4 П/3; П/3; 2 П/3; П.