Решите уравнения 2*2^ (2x) - 17*2^x+8=0; 5*2^ (2x) - 7*10^x+2*5^ (2x) = 0 Тема показательные уравнения

Для решения показательного уравнения выполним замену:

2 * 2^ (2x) - 17 * 2^x + 8 = 0;

2^x = у > 0;

2 * 2^ (2x) - 17 * 2^x + 8 = 0;

2 у² - 17 у + 8 = 0;

Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 17) ² - 4 * 2 * 8 = 289 - 64 = 225;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = (17 - √225) / 2 * 2 = (17 - 15) / 4 = 2 / 4 = 1/2;

у2 = ( - b + √D) / 2a = (17 + √225) / 2 * 2 = (17 + 15) / 4 = 32 / 4 = 8;

Найдем х:

2^x = у;

Если у = 1/2, то:

2^x = 1/2;

2^x = 2^ ( - 1);

х1 = - 1;

Если у = 8, то:

2^x = 8;

2^x = 2^3;

х2 = 3;

Ответ: х1 = - 1; х2 = 3.

Чтобы решить показательное уравнение, воспользуемся свойством степени:

5 * 2^ (2x) - 7 * 10^x + 2 * 5^ (2x) = 0;

5 * 2^ (2x) - 7 * 2^ x * 5^x + 2 * 5^ (2x) = 0;

Раздели каждый член равенства на 5^2x:

(5 * 2^ (2x)) / 5^2x - (7 * 2^ x * 5^x) / 5^2x + (2 * 5^ (2x)) / 5^2x = 0;

5 * (2/5) ^ (2x) - 7 * (2/5) ^ x + 2 * 1 = 0;

Выполним замену:

(2/5) ^x = у > 0;

5 * y^2 - 7 * y + 2 = 0;

5 у^2 - 7 у + 2 = 0;

Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = ( - 7) ^2 - 4 * 5 * 2 = 49 - 40 = 9;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = (7 - √9) / 2 * 5 = (7 - 3) / 10 = 4 / 10 = 2/5;

у2 = ( - b + √D) / 2a = (7 + √9) / 2 * 5 = (7 + 3) / 10 = 10 / 10 = 1;

Найдем х:

(2/5) ^x = у;

Если у = 1, то:

(2/5) ^x = 1;

(2/5) ^x = 2/5^0;

х1 = 0;

Если у = 2/5, то:

(2/5) ^x = 2/5;

(2/3) ^x = 2/3^1;

х2 = 1;

Ответ: х1 = 0; х2 = 1.