Найти наименьшее значение у: у=e^ (4x) - 4e^x+8 на отрезке [-2; 2]

1. Вычисляем производную функции:

у = e^ (4x) - 4e^x + 8; у' = 4e^ (4x) - 4e^x = 4 (e^ (4x) - e^x).

2. Находим стационарные точки:

4 (e^ (4x) - e^x) = 0; e^ (3x + x) - e^x = 0; e^x * e^ (3x) - e^x = 0; e^x (e^ (3x) - 1) = 0; [e^x = 0 - нет решений;

[e^ (3x) - 1 = 0; e^ (3x) = 1; 3x = 0; x = 0.

В точке x = 0 происходит переход от убывания к возрастанию, значит, это - точка минимума.

3. Наименьшее значение функции:

у = e^ (4x) - 4e^x + 8; xmin = 0; ymin = y (0) = e^ (4 * 0) - 4 * e^0 + 8 = 1 - 4 + 8 = 5.

Ответ: 5.