Решить: 1) Log 2x+Log2 (x+6) = 4 2) Log6 (5-x) + Log6 (-x) = 2 3) Log 81x+Log3x=2,5

1) log₂x + log₂ (x + 6) = 4.

Разберем ОДЗ (область допустимых значений) : х + 6 > 0; x > - 6.

По правилу сложения логарифмов: log₂ (х (x + 6)) = 4.

Представим число 4 как логарифм по основанию 2:

log₂ (х (x + 6)) = log₂16.

Отсюда х (x + 6) = 16.

х² + 6x - 16 = 0.

По теореме Виета корни равны - 8 и 2. Корень - 8 не подходит по ОДЗ.

Ответ: корень уравнения равен 2.

2) log₆ (5 - x) + log₆ (-x) = 2.

ОДЗ: 5 - х > 0; x 0; х < 0.

По правилу сложения логарифмов: log₆ (-х (5 - x)) = 2.

Представим число 2 как логарифм по основанию 6:

log₆ (-х (5 - x)) = log₆36.

Отсюда - х (5 - x) = 36.

х² - 5 х - 36 = 0.

По теореме Виета корни равны 9 и - 4. Корень х = 9 не подходит по ОДЗ.

Ответ: корень уравнения равен - 4.

3) log₈₁x + log₃x = 2,5.

ОДХ: х > 0.

Приведем логарифмы к одинаковому основанию:

log_3⁴x + log₃x = 2,5.

1/4log₃x + log₃x = 2,5.

Вынесем log₃x за скобку:

log₃x (1/4 + 1) = 2,5.

log₃x * 5/4 = 2,5.

log₃x = 5/2 : 5/4.

log₃x = 5/2 * 4/5.

log₃x = 2.

log₃x = log₃9.

Отсюда х = 9 (удовлетворяет ОДЗ).

Ответ: корень уравнения равен 9.