Решить систему уравнений x+y+z+u=8 x^2+y^2+z^2+u^2=20 xy+xu+zy+zu=16 xyzu=9

1. Возведем уравнение (1) в квадрат:

{x + y + z + u = 8; (1)

{x^2 + y^2 + z^2 + u^2 = 20; (2)

{xy + xu + zy + zu = 16; (3)

{xyzu = 9; (4) (x + y + z + u) ^2 = 8^2; x^2 + y^2 + z^2 + u^2 + 2 (xy + xz + xu + yz + yu + zu) = 64; 20 + 2 (xz + yu + 16) = 64; 2 (xz + yu) + 32 = 44; 2 (xz + yu) = 12; xz + yu = 6. (5)

2. Из уравнений (4) и (5) следует, что xz и yu являются корнями уравнения:

t^2 - 6t + 9 = 0; (t - 3) ^2 = 0; t = 3; xz = yu = 3. (6)

3. Из уравнения (3):

x (y + u) + z (y + u) = 16; (y + u) (x + z) = 16. (7)

4. Из уравнений (1) и (7) следует, что y + u и x + z являются корнями уравнения:

w^2 - 8w + 16 = 0; (w - 4) ^2 = 0; w - 4 = 0; w = 4; y + u = x + z = 4. (8)

5. Из уравнений (6) и (8) следует, что y и u, и x и z являются корнями уравнения:

v^2 - 4v + 3 = 0; v1 = 1; v2 = 3; {y = 1; u = 3;

{y = 3; u = 1; {x = 1; z = 3;

{x = 3; z = 1.

Ответ: (x; y; z; u) = (1; 1; 3; 3), (1; 3; 3; 1), (3; 1; 1; 3), (3; 3; 1; 1).