14 сентября, 18:09

Число 72 представьте в виде суммы трёх положительных чисел так чтобы два из них были равны между собой, а сумма квадратов этих трёх чисел была наименьшей

0
Ответы (2)
  1. 14 сентября, 18:42
    0
    Пусть первые два числа равны х, тогда третье число (72 - 2 * х).

    Сумма квадратов чисел:

    F (x) = х^2 + x^2 + (72 - 2 * x) ^2 = 2 * x^2 + 72 * 72 - 288 * x + 4 * x^2 = 6 * x^2 - 288 * x + 5184.

    Найдем производную полученной функции F (x).

    Fmin = F′ (x) = (6 * x^2 - 288 * x + 5184) ′ = 2 * 6 * x - 288 = 12 * x - 288.

    Так как F′ (x) = 0, тогда 12 * x - 288 = 0.

    Следовательно, х = 24.

    Третье число: 72 - 2 * 24 = 24.

    Таким образом, искомая сумма 24 + 24 + 24 = 72.
  2. 14 сентября, 19:51
    0
    Сведем решение данной задачи к исследованию некоторой функции на экстремум.

    Составляем функцию, которую будем исследовать на экстремум

    Обозначим через х то число из данных трёх положительных чисел, для которого среди двух оставшихся чисел есть равное ему число.

    Тогда это второе равное первому число также будет равно х.

    Выразим через х третье число.

    Обозначим его через у.

    Согласно условию задачи, сумма трёх данных чисел равна 72, следовательно, можем записать следующее соотношение:

    х + х + у = 72.

    Из полученного соотношения находим у:

    2 х + у = 72;

    у = 72 - х.

    Запишем выражение, равное сумме квадратов этих трёх чисел:

    х² + х² + (72 - х) ² = 2 х² + 5184 - 144 х + х² = 3 х² - 144 х + 5184.

    Следовательно, сумма квадратов этих трёх чисел принимает наименьшее значение при таком значении х, при котором функция f (x) = 3 х² - 144 х + 5184 принимает наименьшее значение.

    Исследуем данную функцию на экстремум

    Для того, чтобы найти наименьшее значение данной функции, необходимо:

    найти производную данной функции; найти критические точки, то есть точки, в которых это производная обращается в ноль; определить знак производной слева и справа от критических точек. Если слева от критической точки производная отрицательна, а справа положительная, то в данной точке функция достигает локального минимума.

    Находим производную функции f (x) = 3 х² - 144 х + 5184:

    f' (x) = (3 х² - 144 х + 5184) ' = 6x - 144.

    Находим критические точки:

    6x - 144 = 0;

    6 х = 144;

    х = 144 / 6;

    х = 24.

    Следовательно, у данной функции есть одна критическая точка х = 24.

    Поскольку при x 24 производная данной функции больше 0, то слева от этой точки данная функция убывает, а справа - возрастает.

    Следовательно, в данной точке функция f (x) = 3 х² - 144 х + 5184 достигает абсолютного минимума.

    Следовательно, сумма квадратов трех положительных чисел, удовлетворяющих условию задачи, наименьшей будет, когда два числа равны 24, а третье число равно 72 - 2 * 24 = 72 - 48 = 24.

    Таким образом все три числа должны быть равны между собой.

    Ответ: 72 = 24 + 24 + 24.
Знаешь ответ на этот вопрос?