Число 72 представьте в виде суммы трёх положительных чисел так чтобы два из них были равны между собой, а сумма квадратов этих трёх чисел была наименьшей

Сведем решение данной задачи к исследованию некоторой функции на экстремум.

Составляем функцию, которую будем исследовать на экстремум

Обозначим через х то число из данных трёх положительных чисел, для которого среди двух оставшихся чисел есть равное ему число.

Тогда это второе равное первому число также будет равно х.

Выразим через х третье число.

Обозначим его через у.

Согласно условию задачи, сумма трёх данных чисел равна 72, следовательно, можем записать следующее соотношение:

х + х + у = 72.

Из полученного соотношения находим у:

2 х + у = 72;

у = 72 - х.

Запишем выражение, равное сумме квадратов этих трёх чисел:

х² + х² + (72 - х) ² = 2 х² + 5184 - 144 х + х² = 3 х² - 144 х + 5184.

Следовательно, сумма квадратов этих трёх чисел принимает наименьшее значение при таком значении х, при котором функция f (x) = 3 х² - 144 х + 5184 принимает наименьшее значение.

Исследуем данную функцию на экстремум

Для того, чтобы найти наименьшее значение данной функции, необходимо:

найти производную данной функции; найти критические точки, то есть точки, в которых это производная обращается в ноль; определить знак производной слева и справа от критических точек. Если слева от критической точки производная отрицательна, а справа положительная, то в данной точке функция достигает локального минимума.

Находим производную функции f (x) = 3 х² - 144 х + 5184:

f' (x) = (3 х² - 144 х + 5184) ' = 6x - 144.

Находим критические точки:

6x - 144 = 0;

6 х = 144;

х = 144 / 6;

х = 24.

Следовательно, у данной функции есть одна критическая точка х = 24.

Поскольку при x 24 производная данной функции больше 0, то слева от этой точки данная функция убывает, а справа - возрастает.

Следовательно, в данной точке функция f (x) = 3 х² - 144 х + 5184 достигает абсолютного минимума.

Следовательно, сумма квадратов трех положительных чисел, удовлетворяющих условию задачи, наименьшей будет, когда два числа равны 24, а третье число равно 72 - 2 * 24 = 72 - 48 = 24.

Таким образом все три числа должны быть равны между собой.

Ответ: 72 = 24 + 24 + 24.

Пусть первые два числа равны х, тогда третье число (72 - 2 * х).

Сумма квадратов чисел:

F (x) = х^2 + x^2 + (72 - 2 * x) ^2 = 2 * x^2 + 72 * 72 - 288 * x + 4 * x^2 = 6 * x^2 - 288 * x + 5184.

Найдем производную полученной функции F (x).

Fmin = F′ (x) = (6 * x^2 - 288 * x + 5184) ′ = 2 * 6 * x - 288 = 12 * x - 288.

Так как F′ (x) = 0, тогда 12 * x - 288 = 0.

Следовательно, х = 24.

Третье число: 72 - 2 * 24 = 24.

Таким образом, искомая сумма 24 + 24 + 24 = 72.