Решите систему уравнений. cosx*cosy=1/4 ctgx*ctgy=-3/4

1. Преобразуем:

{cosx * cosy = 1/4; (1)

{ctgx * ctgy = - 3/4; (2) {cosx * cosy = 1/4;

{ (cosx / sinx) * (cosy / siny) = - 3/4; {cosx * cosy = 1/4;

{ (cosx * cosy) / (sinx * siny) = - 3/4; {cosx * cosy = 1/4;

{ (1/4) / (sinx * siny) = - 3/4; {cosx * cosy = 1/4;

{1 / (sinx * siny) = - 3; {cosx * cosy = 1/4;

{sinx * siny = - 1/3; {cos^2 (x) * cos^2 (y) = 1/16;

{sinx * siny = - 1/3.

2. Обозначим:

sinx = p; siny = q; { (1 - p^2) (1 - q^2) = 1/16;

{pq = - 1/3; {1 - q^2 - p^2 + p^2q^2 = 1/16;

{pq = - 1/3; {1 - q^2 - p^2 + 1/9 = 1/16;

{pq = - 1/3; {p^2 + q^2 = 151/144;

{pq = - 1/3; { (p + q) ^2 - 2pq = 151/144;

{ (p - q) ^2 + 2pq = 151/144; { (p + q) ^2 + 2/3 = 151/144;

{ (p - q) ^2 - 2/3 = 151/144; { (p + q) ^2 = 55/144;

{ (p - q) ^2 = 247/144; {p + q = ±√55/12; (3)

{p - q = ±√247/12. (4)

Обозначим:

√247/24 + √55/24 = s; √247/24 - √55/24 = r; arcsin (s) = α; arcsin (r) = β.

Сложением и вычитанием уравнений (3) и (4) для каждого из четырех случаев найдем значения p и q:

1) (p; q) = (-s; r); 2) (p; q) = (r; - s); 3) (p; q) = (-r; s); 4) (p; q) = (s; - r).

Из уравнения (1) следует, что косинусы имеют одинаковый знак, поэтому для x и y выбираем одновременно левые или правые четверти:

1) (x; y) = (-α + 2πk; β + 2πk); (π + α + 2πk; π - β + 2πk); 2) (x; y) = (β + 2πk; - α + 2πk); (π - β + 2πk; π + α + 2πk); 3) (x; y) = (-β + 2πk; α + 2πk); (π + β + 2πk; π - α + 2πk); 4) (x; y) = (α + 2πk; - β + 2πk); (π - α + 2πk; π + β + 2πk).