Найдите наименьшее значение функции y=x^3-10x^2+25x+7 на отрезке [4; 11]. B15.

Найдем наименьшее значение функции y = x^3 - 10 * x^2 + 25 * x + 7 на отрезке [4; 11].

Вычислим производную функции:

y ' = (x^3 - 10 * x^2 + 25 * x + 7) ' = 3 * x^2 - 10 * 2 * x + 25 * 1 + 0 = 3 * x^2 - 20 * x + 25;

Приравняем производную функции к 0.

3 * x^2 - 20 * x + 25 = 0;

D = 400 - 4 * 3 * 25 = 400 - 100 * 3 = 400 - 300 = 100 = 10^2;

x1 = (20 + 10) / (2 * 3) = 30/6 = 5;

x2 = (20 - 10) / 6 = 10/6 = 5/2 = 2.5;

Найдем значение функции в точках.

y (4) = x^3 - 10 * x^2 + 25 * x + 7 = 4 * 4 * 4 - 10 * 16 + 25 * 4 + 7 = 64 - 160 + 100 + 7 = 64 - 60 + 7 = 11;

y (11) = x^3 - 10 * x^2 + 25 * x + 7 = 11 * 11 * 11 - 10 * 121 + 25 * 11 + 7 = 403;

y (5) = x^3 - 10 * x^2 + 25 * x + 7 = 5^3 - 10 * 5^2 + 25 * 5 + 7 = 7;

y (2,5) = x^3 - 10 * x^2 + 25 * x + 7 = 2.5^3 - 10 * 2.5^2 + 25 * 2.5 + 7 = 22.625;

Ответ: y min = 7.