Найдите какое-нибудь натуральное число, сумма цифр которого увеличивается вдвое, если от числа отнять 9.

1. Пусть функция f (a) выражает сумму цифр натурального числа 'a', и пусть натуральные числа x и y удовлетворяют условию:

y = x - 9. (1)

2. Тогда, по условию задачи, можем составить сравнение по модулю 9:

f (y) = 2f (x), отсюда: f (y) ≡ 2f (x) (mod 9). (2)

3. Остаток числа при делении на 9 равно остатку его суммы цифр при делении на 9, следовательно:

f (x) ≡ x (mod 9); (3) f (y) ≡ y (mod 9). (4)

4. Из уравнения (1) и сравнений (2), (3) и (4) получим:

y ≡ 2x (mod 9); x - 9 ≡ 2x (mod 9); x ≡ 2x (mod 9); 0 ≡ 2x - x (mod 9); x ≡ 0 (mod 9).

5. Число x кратно 9. Наименьшие решения получим при условии:

f (x) = 9; f (y) = 2 * 9 = 18.

Числа 108 и 99, 207 и 198, 306 и 297, и т. д., удовлетворяют этим условиям.

Ответ. Например, числа 108, 207, 306.