Решите уравнение А) sin x=-1

А) sin x = - 1;

Найдем корни тригонометрического уравнения:

x = ( - 1) ^ n * arcsin ( - 1) + pi * n, где n принадлежит Z;

x = ( - 1) ^ n * ( - pi/2) + pi * n, где n принадлежит Z;

x = - pi/2 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

Ответ: x = - pi/2 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z.

Требуется найти угол х, удовлетворяющий уравнению:

sin (х) = - 1;

Единичная окружность и синус угла

На координатной плоскости с началом координат О, осями абсцисс Оx и ординат Оy построим окружность с центром О и радиусом, равным единице. Эта единичная окружность пересекает оси Оx и Оу в точках:

A = (1; 0); B = (0; 1); C = (-1; 0); D = (0; - 1);

Возьмем на ней точку M с координатами x₀ и y₀:

M = (x₀; y₀);

Угол α, между радиусами окружности ОА и ОМ, отсчитанный от ОА к ОМ по направлению, противоположному направлению движения часовой стрелки, считается положительным. Координату y₀ точки М на единичной окружности называют синусом угла α:

y₀ = sin (α);

Вычисление угла х

Необходимо:

определить множество всех точек на плоскости с ординатой (-1); найти точки на единичной окружности, у которых y₀ = - 1; вычислить требуемый угол х.

Множество точек на плоскости с ординатой (-1) представляет собой прямую линию, параллельную оси Ox и проходящую через точку с координатами (0; - 1). Это касательная прямая для единичной окружности и пересекается с ней только в точке D. Значит, искомый угол равен углу в 270° между радиусами OA и ОD в направлении против часовой стрелки. Если двигаться от точки А вдоль окружности по или против часовой стрелки, сделав n полных кругов вокруг начала координат, и остановиться в точке D, то отмеренный угол x, будет равен:

х = 270° + n * 360°;

или в радианах

х = 3/2 * π + 2 * π * n;

где n - произвольное целое число (n ∈ Z).

Ответ: х = 3/2 * π + 2 * π * n; n ∈ Z