Докажите признаки делимости на 25 и на 8, а также на 125. Письменно. (100 делится на 25, 1000 на 8, а 1000 на 25) Перечислите все 3-х значные числа которые делятся на 125

Пусть число А имеет в записи n цифр dn, d (n-1), ..., d4, d3, d2, d1.

Тогда мы можем представить его в виде десятичного разложения:

А = dn * 10^ (n-1) + ... + d4 * 10^3 + d3 * 10^2 + d2 * 10 + d1.

Определим признак делимости на 8.

Заметим, что число 1000 = 10^3 = 8 * 125. Это означает, что для любого натурального n >=3

число 10^n делится на 8. Тогда из десятичного разложения имеем:

A = dn * 10^ (n-1) + ... + d4 * 10^3 + d3 * 10^2 + d2 * 10 + d1 =

= (dn * 10^ (n-4) + ... + d4) * 10^3 + d3 * 10^2 + d2 * 10 + d1 =

= 8 * 125 * (dn * 10^ (n-4) + ... + d4) + d3 * 10^2 + d2 * 10 + d1.

Следовательно, А делится на 8, тогда и только тогда, когда d3 * 10^2 + d2 * 10 + d1 делится на 8. Отсюда вытекает признак делимости на 8:

Число делится на 8, тогда и только тогда, число записываемое тремя последними цифрами, либо 0, либо делится на 8.

Определим признак делимости на 25.

Заметим, что число 100 = 10^2 = 25 * 4. Это означает, что для любого натурального n >=2

число 10^n делится на 25. Тогда из десятичного разложения имеем:

A = dn * 10^ (n-1) + ... + d4 * 10^3 + d3 * 10^2 + d2 * 10 + d1 =

= (dn * 10^ (n-3) + ... + d4 * 10 + d3) * 10^2 + d2 * 10 + d1 =

= 25 * 4 * (dn * 10^ (n-3) + ... + d4 * 10 + d3) + d2 * 10 + d1.

Следовательно, А делится на 25, тогда и только тогда, когда d2 * 10 + d1 делится на 25. Отсюда вытекает признак делимости на 25:

Число делится на 25, тогда и только тогда, число записываемое двумя последними цифрами, либо 0, либо делится на 25.

Определим признак делимости на 125.

Заметим, что число 1000 = 10^3 = 8 * 125. Это означает, что для любого натурального n >=3

число 10^n делится на 125. Тогда из десятичного разложения имеем:

A = dn * 10^ (n-1) + ... + d4 * 10^3 + d3 * 10^2 + d2 * 10 + d1 =

= (dn * 10^ (n-4) + ... + d4) * 10^3 + d3 * 10^2 + d2 * 10 + d1 =

= 125 * 8 * (dn * 10^ (n-4) + ... + d4) + d3 * 10^2 + d2 * 10 + d1.

Следовательно, А делится на 125, тогда и только тогда, когда d3 * 10^2 + d2 * 10 + d1 делится на 125. Отсюда вытекает признак делимости на 125:

Число делится на 125, тогда и только тогда, число записываемое тремя последними цифрами, либо 0, либо делится на 125.

3-хзначные числа делящиеся на 125:

125, 250, 375, 500, 625, 750, 875.