5 sin2x+3cos 2x=4sin 2x

5sin^2 x + 3cos2x = 4sin2x.

1) Разложим sin2x и cos2x по формулам синуса и косинуса двойного угла.

5sin^2 x + 3 (cos^2 x - sin^2 x) = 4 * 2sinxcosx;

5sin^2 x + 3cos^2 x - 3sin^2 x = 8sinxcosx;

2) Перенесем все одночлены в левую часть уравнения и подведем подобные слагаемые.

2sin^2 x + 3cos^2 x - 8sinxcosx = 0.

3) Поделим все уравнение на cos^2 x:

(2sin^2 x) / (cos^2 x) + (3cos^2 x) / (cos^2 x) - (8sinxcosx) / (cos^2 x) = 0;

2tg^2 x + 3 - 8 tgx = 0; 2tg^2 x - 8 tgx + 3 = 0.

4) Пусть tgx = а: 2 а^2 - 8 а + 3 = 0.

Решим квадратное уравнение через дискриминант.

D = 64 - 24 = 40 (√D = √40 = 2√10);

а₁ = (8 + 2√10) / 4 = 2 + √10/2;

а₂ = 2 - √10/2.

5) Вернемся к замене tgx = а.

tgx = 2 + √10/2; х = arctg (2 + √10/2) + Пn, n - целое число.

tgx = 2 - √10/2; х = arctg (2 - √10/2) + Пn, n - целое число.