найти такое целое число n чтобы многочлен p (x) = x3+nx2-25x+3n делится на (x-3)

Многочлен p (x) = x^3 + n * x^2 - 25 * x + 3 * n делится на (x - 3), если p (x) можно представить:

p (x) = (x - 3) * q (x), где q (x) - многочлен. Тогда:

x^3 + n * x^2 - 25 * x + 3 * n = (x - 3) * (x^2 + b * x + c).

Найдём такие b и с, который удовлетворяют равенству.

(x - 3) * (x^2 + b * x + c) =

= x^3 + b * x^2 + c * x - 3 * x^2 - 3 * b * x - 3 * c =

= x^3 + (b - 3) * x^2 + (c - 3 * b) * x - 3 * c.

Сравнивая коэффициенты при степенях x исходного многочлена и полученного разложения получим:

- 3 * c = 3 * n, c = - n.

c - 3 * b = - 25, - n - 3 * b = - 25, 3 * b = 25 - n, b = (25 - n) / 3.

b - 3 = n, (25 - n) / 3 - 3 = n, 25 - n - 9 = 3 * n, 4 * n = 16, n = 4.

Итак, получили, что n = 4 и разложение

x^3 + 4 * x^2 - 25 * x + 12 = (x - 3) * (x^2 + 7 * x - 4).