Решите систему уравнений: {3^x+5^у=8 3^x-5^у = - 216^у - 16^x=2416^х+у=256

1. Для решения системы неравенств выполним замену переменных:

{3^x + 5^у = 8;

{3^x - 5^у = - 2;

3^x = a;

5^у = b;

Получим систему уравнений:

{a + b = 8;

{a - b = - 2;

Выразим а и подставим в первое уравнение:

a = - 2 + b;

- 2 + b + b = 8;

2b = 8 + 2;

2b = 10;

b = 5;

Тогда, а = - 2 + 5 = 3;

Найдем значения переменных:

3^x = a;

3^x = 3;

3^x = 3^1;

x = 1;

5^у = b;

5^у = 5;

5^у = 5^1;

y = 1;

Ответ: х = 1, у = 1.

2. Выразим х через второе уравнение:

{16^у - 16^x = 24;

{16^ (х+у) = 256;

16^ (х+у) = 16^2;

Из равенства оснований:

х + у = 2;

х = 2 - у;

Подставим значение х в первое уравнение:

16^у - 16^ (2 - у) = 24;

Применим свойство степеней:

16^у - 16^2/16^у = 24;

Выполним замену:

16^у = а > 0;

а - 256/а - 24 = 0;

а^2 - 24a - 256 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 24) ² - 4 * 1 * ( - 256) = 576 + 1024 = 1600;

D › 0, значит:

a1 = ( - b - √D) / 2a = (24 - √1600) / 2 * 1 = (24 - 40) / 2 = - 16 / 2 = - 8, не подходит;

a2 = ( - b + √D) / 2a = (24 + √1600) / 2 * 1 = (24 + 40) / 2 = 64 / 2 = 32;

Значит, получим уравнение:

16^у = 32;

2^4y = 2^5;

Из равенства оснований:

4 у = 5;

у = 5/4 = 1 1/4;

Тогда, х = 2 - у = 2 - 1 1/4 = 3/4.

Ответ: х = 3/4, у = 1 1/4.