Числовая последовательность 1; 8; 22; 43; ... обладает таким свойством, что разности двух соседних членов составляют арифметическую прогрессию 7; 14; 21; ... Какой член данной последовательности равен 35351?

Заметим, что сумма (n-1) члена полученной прогрессии равна n-ому члену исходной прогрессии минус 1, n = 1,2,3,4 ...

То есть,

Сумма первых двух членов полученной прогрессии 7 + 14 = 21, а это третий член исходной прогрессии 22 минус 1;

Сумма первых трёх членов полученной прогрессии 7 + 14 + 21 = 42, а это есть 43 - 1.

Таким образом, число 35351 в исходной прогрессии равно сумме полученной последовательности минус 1.

Обозначим сумму полученной последовательности S = 35350.

Сумма полученной арифметической прогрессии равна:

S = (2*a1 + (n-1) * d) * n/2, разность d = 7, первый член а1 = 7.

Найдем число n:

35350 = (2*7 + (n-1) * 7) * n/2;

35350 = (7 + 3.5*n - 3.5) * n = 3.5*n + 3.5*n^2;

10100 = n + n^2;

n + n^2 + ¼ - ¼ = 10100;

(n + 1/2) ^2 = 10100.25;

n + ½ = ± 100.5;

n = 100 (число не может быть отрицательным).

Значит, в полученной прогрессии 100 членов.

Тогда, в исходной прогрессии числу 35351 равен 101 член прогрессии.