Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 18 км, одновременно навстречу друг другу вышли две группы туристов и встретились через 2 часа. Найдите скорость каждой группы, если известно, что на весь путь первая группа тратит на 54 минуты больше, чем вторая.

Пусть вторая группа тратит на весь путь х часов, тогда первая - (х + 0,9) часов (т. к. 54 мин = 54/60 = 0,9 ч). Скорость первой группы равна 18 / (х + 0,9) км/ч (чтобы найти скорость надо путь разделить на время), а скорость второй группы - 18/х км/ч. За 2 часа первая группа прошла 2 * 18 / (х + 0,9) км, а вторая - 2 * 18/х км. Обе группы вместе прошли (2 * 18 / (х + 0,9) + 2 * 18/х) км или 18 км. Составим уравнение и решим его.

2 * 18 / (х + 0,9) + 2 * 18/х = 18;

36 / (x + 0,9) + 36/x = 18/1 - приведем к общему знаменателю x (x + 0,9); дополнительный множитель для первой дроби равен x, для второй - (x + 0,9), для третьей - x (x + 0,9);

(36x + 36 (x + 0,9)) / (x (x + 0,9)) = (18x (x + 0,9)) / (x (x + 0,9)) - далее решаем без знаменателя, т. к. у равных дробей с одинаковым знаменателем числители равны;

36x + 36 (x + 0,9) = 18x (x + 0,9);

36x + 36x + 32,4 = 18x^2 + 16,2x;

18x^2 + 16,2x - 72x - 32,4 = 0;

18x^2 - 55,8x - 32,4 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = ( - 55,8) ^2 - 4 * 18 * ( - 32,4) = 3113,64 + 2332,8 = 5446,44; √D = 73,8;

x = ( - b ± √D) / (2a);

x1 = (55,8 + 73,8) / (2 * 18) = 129,6/36 = 3,6 (ч);

x2 = (55,8 - 73,8) / 36 < 0 - время не может быть отрицательным числом.

Найдем скорости групп.

18 / (х + 0,9) = 18 / (3,6 + 0,9) = 18/4,5 = 4 (км/ч) - скорость первой группы;

18/x = 18/3,6 = 5 (км/ч) - скорость второй группы.

Ответ. 5 км/ч; 4 км/ч.