Какие уравнения называются равносильными?

Уравнения, имеющие одни и те же корни (в случае кратных корней нужно, чтобы кратности соответствующих корней совпадали), называют равносильными. Также равносильными называют уравнения каждое из которых не имеет корней.

Теорема 1. Пусть уравнение f (х) и g (х) задано на множестве и h (x) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда уравнения f (х) = g (х) (1) и f (х) + h (x) = g (х) + h (x) (2) равносильны.

Данную теорему можно сформулировать: если к обеим частям уравнения с областью определения X прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть уравнение f (х) = g (х) задано на множестве X и h (х) - выражение, которое определено на том же множестве и не обращается в нуль ни при каких значениях х из множества X. Тогда уравнения f (х) = g (х) и f (х) · h (x) = g (х) · h (x) равносильны.

Теорему 2 можно сформулировать: если обе части уравнения с областью определения X умножить на одно и то же выражение, которое определенно на том же множестве не обращается на нем в нуль, то получим новое уравнение равносильное данному.