Чему равен sin² (π/4+α) и sin² (π/4-α)

Воспользовавшись формулой синуса суммы преобразуем выражение sin (π/4+α)

sin (π/4+α) = sin (π/4) ∙cosα + cos (π/4) ∙sinα = (√2/2) ∙cosα + (√2/2) ∙sinα = (√2/2) ∙ (cosα + sinα)

Теперь возведем в квадрат:

(√2/2) ²∙ (cosα + sinα) ² = (1/2) ∙ (cos²α + 2∙sinα∙cosα + sin²α) = (1/2) ∙ (1 + 2∙sinα∙cosα)

Используя формулу синуса двойного угла и раскрывая скобки получим:

(1/2) ∙ (1 + 2∙sinα∙cosα) = 1/2 + (1/2) ∙sin (α/2)

Те же действия применим для преобразования sin² (π/4-α):

sin² (π/4-α) = [sin (π/4) ∙cosα - cos (π/4) ∙sinα]² =

[ (√2/2) ∙cosα - (√2/2) ∙sinα]² = (√2/2) ²[cosα - sinα]² =

(1/2) ∙ (cos²α - 2∙sinα∙cosα + sin²α) = (1/2) ∙ (1 - 2∙sinα∙cosα) = 1/2 - (1/2) ∙sin (α/2)

Ответ: sin² (π/4+α) = 1/2 + (1/2) ∙sin (α/2); sin² (π/4-α) = 1/2 - (1/2) ∙sin (α/2)