Сколько вершин имеет многоугольник у которого 54 диагонали

1. Каждую вершину выпуклого n-угольника можно соединить диагональю с n - 3 вершинами - исключаем эту же, и две соседние вершины.

2. Поскольку в каждой диагонали участвуют две вершины, то количество диагоналей n-угольника равно:

N (n) = n (n - 3) / 2.

3. По условию задачи имеем:

n (n - 3) / 2 = 54; n (n - 3) = 108; n^2 - 3n - 108 = 0; D = 3^2 + 4 * 108 = 9 + 432 = 441; n = (3 ± √441) / 2 = (3 ± 21) / 2; n1 = (3 - 21) / 2 = - 18/2 = - 9 - не подходит по смыслу задачи; n2 = (3 + 21) / 2 = 24/2 = 12.

Ответ: 12 вершин.