В вершинах куба записали восемь различных натуральных чисел, а на каждой грани - - сумму четырех чисел в её вершинах. Оказалось, что число на каждой грани в 1,5 раза больше или в 1,5 раза меньше числа на противоположной грани. Может ли сумма чисел в вершинах быть равной 2016?

Обозначим через S сумму чисел во всех вершинах. Пусть на одной грани будет число x, тогда на противоположной ней будет число 1,5x, на второй грани число y, тогда на противоположной будет 1,5y, на третьей z, тогда на противоположной будет 1,5z. Сумма чисел на всех гранях получается будет равна 2,5 (x+y+z), но когда мы считали эту сумму каждую вершину учитывали три раза, то есть получаем так же что эта сумма равна 3*S. Если S=2016, то 3*2016=2,5 * (x+y+z) = 5/2 * (x+y+z). Откуда 3*2*2016=5 * (x+y+z), число в левой части этого равенства делится на 5, а число в правой части не делится на 5. Противоречие. Значит сумма чисел во всех вершинах не может быть равна 2016.

Ответ: Не может.