Тригонометрические уравнения cosx+sin4x-cos7x=0

Прежде всего, перепишем данное уравнение в виде cos (7 * x) - cosx - sin (4 * x) = 0. К выражению cos (7 * x) - cosx применим формулу cosα - cosβ = - 2 * sin (½ * (α + β)) * sin (½ * (α - β)) (разность косинусов). Тогда, получим - 2 * sin (½ * (7 * х + х)) * sin (½ * (7 * х - х)) - sin (4 * x) = 0 или - 2 * sin (4 * x) * sin (3 * x) - sin (4 * x) = 0, откуда sin (4 * x) * (2 * sin (3 * x) + 1) = 0. Для того, чтобы произведение двух сомножителей равнялось нулю, необходимым и достаточным условием является равенство нулю хотя бы одного из сомножителей. Следовательно, данное уравнение равносильно уравнениям sin (4 * x) = 0 и 2 * sin (3 * x) + 1 = 0. Первое уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением; его решение есть 4 * x = π * n, где n - целое число. Поделив обе части последнего равенства, получим первую серию решений данного уравнения: x₁ = n * π/4. Решим второе уравнение, переписывая его в виде sin (3 * x) = - 1/2. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет следующие две серии решений: 3 * x = - π/6 + 2 * π * m и 3 * x = 7 * π/6 + 2 * π * k, где m и k - целые числа. Поделим обе части обоих равенств на 3. Тогда, получим вторую и третью серии данного уравнения: x₂ = - π/18 + ⅔ * π * m и x₃ = 7 * π/18 + ⅔ * π * k.

Ответ: x = n * π/4; x = - π/18 + ⅔ * π * m и x = 7 * π/18 + ⅔ * π * k, где n, m и k - целые числа.