треугольнике с вершинами в точках M (2; 3), N (-4; 6) и K (5; -1), определите косинус угла M.

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками А и B на координатной плоскости с координатами А (х1; у1) и B (х2; у2):

|AB| = √ ((х1 - х2) ² + (у1 - у2) ²),

и найдем длины всех трех сторон данного треугольнике с вершинами в точках M (2; 3), N (-4; 6) и K (5; -1):

|MN| = √ ((2 - (-4)) ² + (3 - 6) ²) = √ ((2 + 4) ² + (3 - 6) ²) = √ (6² + 3²) = √ (36 + 9) = √45;

|NK| = √ ((-4 - 5) ² + (6 - (-1)) ²) = √ ((-4 - 5) ² + (6 + 1) ²) = √ (9² + 7²) = √ (81 + 49) = √130.

|MK| = √ ((2 - 5) ² + (3 - (-1)) ²) = √ ((2 - 5) ² + (3 + 1) ²) = √ (3² + 4²) = √ (9 + 16) = √25 = 5.

Используя теорему косинусов, находим косинус угла M

|NK|² = |MN|² + |MK|² - 2 * |MN| * |MK| * cosM.

Подставляя найденные значения |MN|, |NK| и |MK|, получаем:

(√130) ² = (√45) ² + 5² - 2 * √45 * 5 * cosM;

130 = 45 + 25 - 10√45 * cosM;

130 = 70 - 10√45 * cosM;

10√45 * cosM = 70 - 130;

10√45 * cosM = - 60;

cosM = - 60 / 10√45;

cosM = - 6/√45;

cosM = - 6/3 (√5);

cosM = - 2/√5;

cosM = - 2√5/5.

Ответ: cosM = - 2√5/5.