Найдите наибольшее и наименьшее значение функции. y=х^3-15 х^2+27 х+3 на промежутке (-3; 12)

Сначала исследуем функцию на предмет наличия экстремумов, взяв производную и приравняв ее нулю:

у = х³ - 15 * х² + 27 * х + 3;

у' = 3 * х² - 30 * х + 27;

3 * х² - 30 * х + 27 = 0;

3 * (х² - 10 * х + 9) = 0;

Отбросим вынесенный общий множитель, который на решение не влияет и найдем корни, использовав теорему Виета:

х² - 10 * х + 9 = 0;

(х - 1) * (х - 9) = 0;

Произведение равно нулю, если какой-то из множителей равен нулю. Приравняем множители нулю:

х - 1 = 0;

х = 1;

х - 9 = 0;

х = 9;

Оба значения х попадают в исследуемый отрезок. Найдем значение функции на концах отрезка и в точках экстремума:

у = х³ - 15 * х² + 27 * х + 3;

х = - 3;

у = - 27 - 15 * 9 - 3 * 27 + 3 = - 27 - 135 - 81 + 3 = - 240;

х = 1;

у = 1 - 15 + 27 + 3 = 16;

При этом в точке х = 1 производная меняет свой знак с "+" на "-";

х = 9;

у = 729 - 15 * 81 + 27 * 9 + 3 = 729 - 1215 + 243 + 3 = - 240;

При этом точке х = 9 производная меняет знак с "-" на "+";

х = 12;

у = 1728 - 15 * 144 + 27 * 12 + 3 = 1728 - 2160 + 324 + 3 = - 105;

Таким образом:

f (max) = f (1) = 16;

f (min) = f (9) = f (-3) = - 240;