Существует ровно 2 значения параметра a при которых парабола y=x^2 проходит через вершину параболы y=x^2+ax+3. Верно ли?

1. Найдем координаты вершины параболы, выделив полный квадрат двучлена:

y = x^2 + ax + 3; y = x^2 + 2 * a/2 * x + (a/2) ^2 - (a/2) ^2 + 3; y = (x + a/2) ^2 + (3 - a^2/4); x0 = - a/2; y0 = 3 - a^2/4.

2. Парабола y = x^2 проходит через точку M (x0; y0), если ее координаты удовлетворяют уравнению:

y = x^2; y0 = x0^2; 3 - a^2/4 = (-a/2) ^2; 3 - a^2/4 = a^2/4; 2 * a^2/4 = 3; a^2/2 = 3; a^2 = 6; a = ±√6.

Ответ. Утверждение верно: a = ±√6.

Задачи на пересечение графиков можно решать графически. мы решим эту задачу алгебраически.

Необходимо учитывать Если графики пересекаются, то координаты х и у у обоих функций в точке пересечения одинаковые; Формула нахождения координаты х₀ вершины параболы высчитывается по формуле х₀ = (-в) / 2 а, а координата у₀ - методом подстановки найденной координаты х₀ в уравнение функции; По коэффициенту перед х² можно определить, куда направлены ветви параболы. Если коэффициент положительный, то ветви параболы направлены вверх, если коэффициент отрицательный, то ветви вниз. Выразим координаты точки пересечения

Обе параболы пересекаются, то есть координаты х и у в точке пересечения у них одинаковые.

Приравняем значения у обоих парабол.

y = x²

y = x² + ax + 3

x² = x² + ax + 3

Перенесем все буквенные одночлены в левую часть уравнения.

x² - x² - ax = 3

х в квадрате сокращается, остается:

- ax = 3

ax = - 3

Если график проходит через вершину параболы

Но у нас графики не просто пересекаются, а парабола y = x² проходит через вершину параболы y = x² + ax + 3.

Выразим координату х₀ параболы.

х₀ = ( - в) / 2 а = - а/2

То есть вершина параболы и есть точка пересечения графиков, тогда можно подставить х₀ = - а/2 в выражение ax = - 3.

а * ( - а/2) = - 3

- а²/2 = - 3

а²/2 = 3

а² = 6

а = + - кв. корень из 6.

Ответ: да, существует два параметра а: + (корень из 6) и - (корень из 6)