1) Пассажир проехал на поезде путь 60 км Задержавшись на последней станции на 40 минут, он вернулся обратно на поезде, скорость которого была на 3 км/ч больше скорости первоначального поезда. На все путешествие он потратил 3 часа 15 минут. Определите скорость каждого поезда. 2) В 6 часов вечера из города А в город В вышел пассажирский поезд. А в 9 часов вечера из города В в город А вышел скоростной поезд, скорость которого на 15 км/ч больше скорости пассажирского. Поезда встретились на середине пути. Во сколько часов встретились поезда, если расстояние между городами 1080 км? 3) Теплоход потратил 1 час времени на прохождение 9 км по озеру и 20 км по течению реки, скорость течения которой 3 км/ч. Найдите скорость движения теплохода по озеру.

1. Пусть скорость первого поезда х км/ч, тогда скорость второго поезда (х + 3) км/ч. Дорога в одну сторону заняла 60/х ч, в обратную сторону 60 / (х + 3) ч.

Составим уравнение:

60/х + 60 / (х + 3) = 3 1/4 - 2/3, где 3 1/4 - время, затраченное на весь путь, 2/3 - время остановки на последней станции.

60/х + 60 / (х + 3) - 31/12 = 0;

(12 * 60 (х + 3) + 12 * 60 х - 31 х (х + 3)) / 12 х (х + 3) = 0;

720 х + 2160 + 720 х - 31 х² - 93 х = 0, при условии, что х ≠ 0, х ≠ - 3.

- 31 х² + 1347 х + 2160 = 0;

D = 1347² - 4 * ( - 31) * 2160 = 1814409 + 267840 = 2082259 = 1443².

х₁ = ( - 1347 - 1443) / (-2 * 31) = 2790/62 = 45 (км/ч) - скорость первого поезда.

х₂ = ( - 1347 + 1443) / ( - 2 * 31) = - 96/62 = - 1 17/31 (не подходит, т. к. скорость не может принимать отрицательные значения).

45 + 3 = 48 (км/ч) - скорость второго поезда.

Ответ: скорость поездов 45 км/ч и 48 км/ч.

2. Обозначим скорость пассажирского поезда х км/ч, тогда скорость скоростного поезда - (х + 15) км/ч.

Оба поезда проехали по 540 км, при этом пассажирский потратил на путь на 3 ч больше.

Составим уравнение:

3 + 540 / (х + 15) = 540/х;

3 + 540 / (х + 15) - 540/х = 0;

(3 х (х + 15) + 540 х - 540 (х + 15)) / х (х+15) = 0;

3 х² + 45 х + 540 х - 540 х - 8100 = 0 при этом х ≠ 0, х ≠ - 15;

3 х² + 45 х - 8100 = 0;

х² + 15 х - 2700 = 0;

D = 225+10800 = 11025 = 105²;

х₁ = ( - 15 - 105) / 2 = - 120/2 = - 60 (не подходит, скорость не может быть отрицательной);

х₂ = ( - 15 + 105) / 2 = 90/2 = 45 (км/ч) - скорость пассажирского поезда.

Определим время движения пассажирского поезда:

540 : 45 = 12 ч

Определим время встречи поездов:

18 ч + 12 ч = 30 ч = 1 сут 6 ч.

Ответ: поезда встретятся на следующие сутки в 6 часов утра.

3. Пусть собственная скорость теплохода - х км/ч.

Составим уравнение:

1 = 9/х + 20 / (х + 3);

1 - 9/х - 20 / (х + 3) = 0;

(х (х + 3) - 9 (х + 3) - 20 х) / х (х + 3) = 0;

х² + 3 х - 9 х - 27 - 20 х = 0 при х ≠ 0 и х ≠ - 3;

х² - 26 х - 27 = 0;

D = 26² - 4 * ( - 27) = 676 + 108 = 784 = 28².

х₁ = (26 - 28) / 2 = - 2/2 = - 1 (не подходит, т. к. скорость не может быть отрицательной);

х₂ = (26 + 28) / 2 = 54/2 = 27 (км/ч)

Ответ: скорость движения теплохода по озеру 27 км/ч.