Пусть x и y - такие целые числа, что 3x+7y делится на 19. Докажите, что 43x+75y тоже делится на 19. Сделать поддробно

1. Используем метод сравнений для доказательства данного утверждения.

2. Известно, что 3x + 7y делится на 19. Значит:

3x + 7y ≡ 0 (mod 19). (1)

3. Предположим, сумма 43x + 75y при делении на 19 дает в остатке z:

43x + 75y ≡ z (mod 19). (2)

4. Из сравнений (1) и (2) получим:

{3x + 7y ≡ 0 (mod 19);

{43x + 75y ≡ z (mod 19); {3x + 7y ≡ 0 (mod 19);

{5x - y ≡ z (mod 19); {3x + 7y ≡ 0 (mod 19);

{35x - 7y ≡ 7z (mod 19); {3x + 7y ≡ 0 (mod 19);

{38x ≡ 7z (mod 19); {3x + 7y ≡ 0 (mod 19);

{7z ≡ 0 (mod 19); {3x + 7y ≡ 0 (mod 19);

{z ≡ 0 (mod 19).

Что и требовалось доказать.