Решите уравнение 1) 3cos² x-10cos x + 7=0 2) 2sin² x+13sin x cos x+6cos² x=0

1) 3cos²x - 10cosx + 7 = 0;

Выполним замену сosx = у, |y| ≤ 1:

3y² - 10y + 7 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 10) ² - 4 * 3 * 7 = 100 - 84 = 16;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = (10 - √16) / 2 * 3 = (10 - 4) / 6 = 6 / 6 = 1;

у2 = ( - b + √D) / 2a = (10 + √16) / 2 * 3 = (10 + 4) / 6 = 14 / 6 = 7/3 = 2 1/3;, не подходит по условию замены;

Тогда, если у1 = 1, то:

сosx = 1;

х = ± arccos (1) + 2πn, n ∈ Z;

х = 2πn, n ∈ Z;

Ответ: х = 2πn, n ∈ Z.

2)

Разделим равенство на cos²x ≠ 0;

2sin²x + 13sinxcosx + 6cos²x = 0;

2sin²x/cos²x + 13sinxcosx/cos²x + 6cos²x/cos²x = 0;

2tg²x + 13tgx + 6 = 0;

Выполним замену tgx = t:

2t² + 13t + 6 = 0;

Определим дискриминант квадратного уравнения:

D = b² - 4ac = (13) ² - 4 * 2 * 6 = 169 - 48 = 121;

t1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 13 - √121) / 2 * 2 = ( - 13 - 11) / 4 = - 24 / 4 = - 6;

t2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 13 + √121) / 2 * 2 = ( - 13 + 11) / 4 = - 2 / 4 = - 1/2;

Eсли t1 = - 6:

tgx = - 6;

х = arctg ( - 6) + πn, n ∈ Z;

х1 = - arctg (6) + πn, n ∈ Z;

Eсли t2 = - 1/2:

tgx = - 1/2;

х = arctg ( - 1/2) + πm, m ∈ Z;

х2 = - arctg (1/2) + πm, m ∈ Z;

Ответ: х1 = - arctg (6) + πn, n ∈ Z, х2 = - arctg (1/2) + πm, m ∈ Z.