Решите тригонометрическое уравнения sin4x=sin2x, sin2x=3sinx cos^2x=0

1) Перенесем все значения в левую часть:

sin4x = sin2x;

sin4x - sin2x = 0;

Воспользуемся формулой преобразования разности в произведение тригонометрических функций:

sin4 х - sin2 х = 2 сos ((4 х + 2 х) / 2) * sin ((4 х - 2 х) / 2) = 2 сos ((6 х) / 2) * sin ((2 х) / 2) = 2 сos3 х * sinх;

2 сos3 х * sinх = 0;

Произведение равно нулю, если:

1) sinx = 0;

Воспользуемся частным случаем:

х1 = πn, n ∈ Z;

2) - 2 сos3 х = 0;

сos3 х = 0;

Воспользуемся частным случаем:

3 х = π/2 + πn, n ∈ Z;

х2 = π/6 + π/3 * n, n ∈ Z;

Ответ: х1 = πn, n ∈ Z, х2 = π/6 + π/3 * n, n ∈ Z.

2) Будем использовать формулу двойного аргумента тригонометрических функций:

sin 2x = 3sin x;

sin2x = 2sinxcosx;

Подставим:

2sinxcosx = 3sin x;

2sinxcosx - 3sin x = 0;

Преобразуем тригонометрическое выражение и вынесем общий множитель sin x за скобки:

sin x (2cosx - 3) = 0;

1) Первое уравнение:

sinx = 0;

Применим частный случай:

х1 = πn, n ∈ Z;

2) Второе уравнение:

2cosx - 3 = 0;

2cosx = 3;

cosx = 3/2, не подходит так как 3/2 > 1;

Ответ: х1 = πn, n ∈ Z.

3) cos²х = 0;

cosх = 0;

х1 = π/2 + πn, n ∈ Z;

Ответ: х1 = π/2 + πn, n ∈ Z